题目

已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25及直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4．（m∈R） （1） 证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交； （2） 求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程． 答案： 解：直线方程l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4，可以改写为m（2x+y﹣7）+x+y﹣4=0，所以直线必经过直线2x+y﹣7=0和x+y﹣4=0的交点．由方程组 {2x+y−7=0x+y−4=0 解得 {x=3y=1 即两直线的交点为A（3，1）， 又因为点A（3，1）与圆心C（1，2）的距离 d=5<5 ，所以该点在C内，故不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交 解：连接AC，当直线l是AC的垂线时，此时的直线l与圆C相交于B、D．BD为直线l被圆所截得的最短弦长．此时， |AC|=5,|BC|=5 ，所以 |BD|=25−5=45 ．即最短弦长为 45 ． 又直线AC的斜率 kAC=−12 ，所以直线BD的斜率为2．此时直线方程为：y﹣1=2（x﹣3），即2x﹣y﹣5=0

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