题目

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2－2mx＋m－1（m＞0）与x轴的交点为A，B． （1） 求抛物线的顶点坐标； （2） 横、纵坐标都是整数的点叫做整点． ①当m=1时，求线段AB上整点的个数； ②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围． 答案： 解：将抛物线表达式变为顶点式 y=m(x−1)2−1 ，则抛物线顶点坐标为（1，-1）； 解：①m=1时，抛物线表达式为 y=x2−2x ，因此A、B的坐标分别为（0，0）和（2，0），则线段AB上的整点有（0，0），（1，0），（2，0）共3个；②抛物线顶点为（1，-1），则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；又有抛物线表达式，令y=0，则 mx2−2mx+m−1=0 ，得到A、B两点坐标分别为（ 1−1m ，0），（ 1+1m ，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到 2≤1m<3 ，∴ 19<m≤14 ．

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