题目

已知函数 ，记 在点 处的切线为 . （1） 当 时，求证：函数 的图像（除切点外）均为切线 的下方； （2） 当 时，求 的最小值. 答案： 解: 设切线方程为 y−f(x0)=f′(x0)(x−x0) 记 h(x)=   f(x)−f′(x0)x+f′(x0)x0−f(x0) . h(x0)=0 ， h′(x)=f′(x)−f′(x0) ， h′(x0)=0 ， h″(x)=f″(x)=2a−1x2<0 , h′(x) 在 (0,+∞) 上单调递减. x∈(0,x0) ， h′(x)>0 ， h(x) 在 (0,x0) 上单调递增， x∈(x0,+∞) ， h′(x)<0 ， h(x) 在 (x0,+∞) 上单调递减. ∴ h(x)max=h(x0)=0 ，即 f(x)≤f′(x0)(x−x0)+f(x0) ，当且仅当 x=x0 时取“ = ”. 故命题成立 解:  g(x)=|ax2−x−lnx| . 设 φ(x)=ax2−x−lnx ， φ′(x)=2ax−1−1x ， 1)当 a≤0 时， φ′(x)<0 ，则 φ(x) 在 [1,+∞) 上单调递减，且 φ(1)=a−1<0 . ∴ g(x)=−φ(x) ， g(x) 在 [1,+∞) 上单调递增. ∴ g(x)min=g(1)=1−a 2)当 a>0 时， φ′(x)=2ax2−x−1x ， 设 t(x)=2ax2−x−1 ， Δ=1+8a>0 ， t(x)=0 有两根 x1 ， x2 ， x1+x2=12a>0 ， x1x2=−12a<0 ，不妨令 x1<0<x2 ， x∈(0,x2) ， t(x)<0 ，即 φ′(x)<0 ， φ(x) 在 (0,x2) 上单调递减， x∈(x2,+∞) ， t(x)>0 ，即 φ′(x)>0 ， φ(x) 在 (x2,+∞) 上单调递增， ①当 t(1)=2a−2≥0 ，即 a≥1 ， x2≤1 ， φ(x) 在 [1,+∞) 上单调递增.   φ(1)=a−1≥0 ，∴ g(x)=φ(x) ； g(x)min=φ(x)min=φ(1)=a−1    ②当 t(1)<0 ，即 0<a<1 时， x2>1 ， φ(1)=a−1<0 ， φ(x) 在 (1,x2) 上单调递减，在 (x2,+∞) 上单调递增， φ(x)min=φ(x2)=ax2−x2−lnx2 ， φ(2a)=a⋅4a2−2a−ln2a=2a−ln2a>0 ， 存在 x0∈(x2,2a)⊆[1,+∞) 使得 φ(x2)=0 ， ∴ g(x)min=|φ(x0)|=0 . 综上可得 g(x)min={1−a,a≤00,0<a<1a−1,a≥1 

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