题目

已知椭圆 ， 、 为椭圆的左、右焦点， 为椭圆上一点，且 . （1） 求椭圆的标准方程； （2） 设直线 ，过点 的直线交椭圆于 、 两点，线段 的垂直平分线分别交直线 、直线 于 、 两点，当 最小时，求直线 的方程. 答案： 解：设椭圆的左焦点 F1(−c,0)(c>0) ，则 |PF1|=(1+c)2+12=322 ，解得 c=1 ， 所以 |PF2|=22 ，则由椭圆定义 |PF1|+|PF2|=2a=22 ，∴ a=2 ， b=1 故椭圆的标准方程为 x22+y2=1 解：由题意直线 AB 的斜率必定不为零，于是可设直线 AB:x=ty+1 ， 联立方程 {x=ty+1x22+y2=1 得 (t2+2)y2+2ty−1=0 ， ∵直线 AB 交椭圆于 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ， ∴ Δ=4t2+4(t2+2)=8(t2+1)>0 由韦达定理 y1+y2=−2tt2+2 ， y1y2=−1t2+2 则 yN=−tt2+2 ，∴ xN=tyN+1=−t2t2+2+1=2t2+2 ∵ MN⊥AB ，∴ kMN=−t ，∴ |MN|=1+t2⋅|−2−2t2+2|=1+t2⋅2t2+6t2+2 又 |AN|=12|AB|=121+t2⋅|y1−y2|=1+t2⋅21+t2t2+2 ∴ tan∠MAN=|MN||AN|=2(t2+3)t2+1=2(t2+1+2t2+1)≥2⋅22=4 当且仅当 t2+1=2t2+1 即 t=±1 时取等号. 此时直线 AB 的方程为 x+y−1=0 或 x−y−1=0 .

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