题目

已知椭圆 的右焦点为 ， 是椭圆 上一点， 轴， . （1） 求椭圆 的标准方程； （2） 若直线 与椭圆 交于 、 两点，线段 的中点为 ， 为坐标原点，且 ，求 面积的最大值. 答案： 解：设椭圆 C 的焦距为 2c (c>0) ，由题知，点 P(c,±22) ， b=2 ， 则有 c2a2+(22)22=1 ， ∴c2a2=34 ，又 a2=b2+c2=2+c2 ， ∴a2=8 ， c2=6 ， 因此，椭圆 C 的标准方程为 x28+y22=1 ； 解：当 AB⊥x 轴时， M 位于 x 轴上，且 OM⊥AB ， 由 |OM|=2 可得 |AB|=6 ，此时 SΔAOB=12|OM|⋅|AB|=3 ； 当 AB 不垂直 x 轴时，设直线 AB 的方程为 y=kx+t ，与椭圆交于 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ， 由 {x28+y22=1y=kx+t ，得 (1+4k2)x2+8ktx+4t2−8=0 . ∴x1+x2=−8kt1+4k2 ， x1x2=4t2−81+4k2 ，从而 M(−4kt1+4k2,t1+4k2) 已知 |OM|=2 ，可得 t2=2(1+4k2)21+16k2 . ∵|AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]=(1+k2)[(−8kt1+4k2)2−4×4t2−81+4k2] =(1+k2)16(8k2−t2+2)(1+4k2)2 . 设 O 到直线 AB 的距离为 d ，则 d2=t21+k2 ， SΔAOB2=14(1+k2)16(8k2−t2+2)(1+4k2)2⋅t21+k2 . 将 t2=2(1+4k2)21+16k2 代入化简得 SΔAOB2=192k2(4k2+1)(1+16k2)2 . 令 1+16k2=p ， 则 SΔAOB2=192k2(4k2+1)(1+16k2)2=12(p−1)(p−14+1)p2 =3[−3(1p−13)2+43]≤4 . 当且仅当 p=3 时取等号，此时 ΔAOB 的面积最大，最大值为 2 . 综上： ΔAOB 的面积最大，最大值为 2 .

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