题目

在ΔABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACE的平分线相交于点D ．   （1） 若∠ABC=60°，∠ACB=40°,求∠A和∠D的度数． （2） 由⑴小题的计算结果，猜想，∠A和∠D有什么数量关系，并加以证明． 答案：解：在△ABC中,∠ABC=60°,∠ACB=40°， ∴∠A=180°−∠ABC−∠ACB=80°， ∵BD为∠ABC，CD为∠ACE的角平分线， ∴∠DBC= 12 ∠ABC= 12 ×60°=30°， ∠ACD= 12 (180°−∠ACB)= 12 ×140°=70°， ∴∠D=180°−∠DBC−∠ACB−∠ACD=180°−30°−40°−70°=40°， ∴∠A=80°,∠D=40°； ⑵由⑴小题的计算结果，猜想，∠A和∠D有什么数量关系，并加以证明． 解：通过第(1)的计算，得到∠A=2∠D，理由如下： ∵∠ACE=∠A+∠ABC， ∴∠ACD+∠ECD=∠A+∠ABD+∠DBE，∠DCE=∠D+∠DBC， 又∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE， ∴∠ABD=∠DBE，∠ACD=∠ECD， ∴∠A=2(∠DCE−∠DBC)，∠D=∠DCE−∠DBC， ∴∠A=2∠D. 解：在△ABC中,∠ABC=60°,∠ACB=40°， ∴∠A=180°−∠ABC−∠ACB=80°， ∵BD为∠ABC，CD为∠ACE的角平分线， ∴∠DBC= 12 ∠ABC= 12 ×60°=30°， ∠ACD= 12 (180°−∠ACB)= 12 ×140°=70°， ∴∠D=180°−∠DBC−∠ACB−∠ACD=180°−30°−40°−70°=40°， ∴∠A=80°,∠D=40°； 解：通过第(1)的计算，得到∠A=2∠D，理由如下： ∵∠ACE=∠A+∠ABC， ∴∠ACD+∠ECD=∠A+∠ABD+∠DBE，∠DCE=∠D+∠DBC， 又∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE， ∴∠ABD=∠DBE，∠ACD=∠ECD， ∴∠A=2(∠DCE−∠DBC)，∠D=∠DCE−∠DBC， ∴∠A=2∠D.

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