题目

已知抛物线 （ 为常数， ）经过点 ，点 是 轴正半轴上的动点． （1） 当 时，求抛物线的顶点坐标； （2） 点 在抛物线上，当 ， 时，求 的值； （3） 点 在抛物线上，当 的最小值为 时，求 的值． 答案： 解：∵抛物线 y=x2−bx+c 经过点 A(−1,0) ， ∴ 1+b+c=0 ．即 c=−b−1 ． 当 b=2 时， y=x2−2x−3=(x−1)2−4 ， ∴抛物线的顶点坐标为 (1,−4) ． 解：由（Ⅰ）知，抛物线的解析式为 y=x2−bx−b−1 ． ∵点 D(b,yD) 在抛物线 y=x2−bx−b−1 上， ∴ yD=b2−b⋅b−b−1=−b−1 ． 由 b>0 ，得 b>b2>0 ， −b−1<0 ， ∴点 D(b,−b−1) 在第四象限，且在抛物线对称轴 x=b2 的右侧． 如图，过点 D 作 DE⊥x 轴，垂足为 E ， 则点 E(b,0) ． ∴ AE=b+1 ， DE=b+1 ．得 AE=DE ． ∴在 RtΔADE 中， ∠ADE=∠DAE=45° ． ∴ AD=2AE ． 由已知 AM=AD ， m=5 ， ∴ 5−(−1)=2(b+1) ． ∴ b=32−1 ． 解：∵点 Q(b+12,yQ) 在抛物线 y=x2−bx−b−1 上， ∴ yQ=(b+12)2−b(b+12)−b−1=−b2−34 ． 可知点 Q(b+12,−b2−34) 在第四象限，且在直线 x=b 的右侧． 考虑到 2AM+2QM=2(22AM+QM) ，可取点 N(0,1) ， 如图，过点 Q 作直线 AN 的垂线，垂足为 G ， QG 与 x 轴相交于点 M ， 有 ∠GAM=45° ，得 22AM=GM ， 则此时点 M 满足题意． 过点 Q 作 QH⊥x 轴于点 H ，则点 H(b+12,0) ． 在 RtΔMQH 中，可知 ∠QMH=∠MQH=45° ． ∴ QH=MH ， QM=2MH ． ∵点 M(m,0) ， ∴ 0−(−b2−34)=(b+12)−m ．解得 m=b2−14 ． ∵ 2AM+2QM=3324 ， ∴ 2[(b2−14)−(−1)]+22[(b+12)−(b2−14)]=3324 ． ∴ b=4 ．

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