题目

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D ， 线段BC上有一点P ． （1） 当点P在什么位置时，直线DP与⊙O有且只有一个公共点，补全图形并说明理由． （2） 在（1）的条件下，当BP＝ ，AD＝3时，求⊙O半径． 答案： 解：补全图形如图所示， 情况一：点P在过点D与OD垂直的直线与BC的交点处， 理由：经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 情况二：如图，当点P是BC的中点时，直线DP与⊙O有且只有一个公共点， 证明：连接CD，OD，如上图， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°， ∵点P是BC的中点， ∴DP＝CP， ∴∠PDC＝∠PCD， ∵∠ACB＝90°， ∴∠PCD+∠DCO＝90°， ∵OD＝OC， ∴∠DCO＝∠ODC， ∴∠PDC+∠ODC＝90°， ∴∠ODP＝90°， ∴DP⊥OD， ∴直线DP与⊙O相切 解：在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，P是BC的中点， ∴BC＝2BP， ∵BP＝ 102 ， ∴BC＝ 10 ， ∵∠ACB＝∠BDC＝90°，∠B＝∠B， ∴△ACB∽△CDB， ∴ ABBC=BCBD ， ∴ BC2=AB·BD ， 设AB＝x， ∵AD＝3， ∴BD＝x﹣3， ∴x（x﹣3）＝（ 10 ）2， ∴x＝5（负值舍去）， ∴AB＝5， ∵∠BDC＝90°， ∴AC＝ AB2−BC2 ＝ 15 ， ∴OC＝ 12 AC＝ 152 ， 即⊙O的半径为 152

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