题目

已知函数f(x)=f'(1)ex-1-f(0)x+ x3 （1） 求f(x)的解析式及单调区间； （2） 若f(x)≥ x2+ax+b，求(a＋1)b的最大值. 答案： 解： f(x)=f′ (1) ex−1−f(0)x+12x2 ， 则 f′(x)=f′(1)ex−1−f(0)+x . 令 x=1 ，得 f(0)=1 . ∴f(x)=f′(1)ex−1−x+12x2 . 令 x=0 得 f(0)=f′(1)e−1=1 ， ∴f′(1)=e . ∴f(x)=ex−x+12x2 . 设 g(x)=f′(x) ， 则 g(x)=ex−1+x . ∵g′(x)=ex+1>0，∴f′(x)=g(x) 在 x∈R 上单调递增. ∴f′(x)>0=f′(0)⇒x>0；f′(x)<0=f′(0)⇒ x＜0 综上可知， f(x) 的解析式为 f(x)=ex−x+12x2 ，且单调递增区间为 (0，+∞) ，单调递減区间为 (−∞，0) 解： f(x)⩾12x2+ax+b⇔h(x)=ex−(a+1)x− b≥0 ①当 h′(x)=ex−(a+1) . ∴y=h(x) 在 x∈R 上单调递增， 此时当 x→−∞ 时， h(x)→−∞ 与 h(x)⩾0 矛盾； ②当 a+1>0 时， h′(x)>0⇔x>ln(a+1)，h′(x)< 0⇔x<ln(a+1) ， ∴ 当 x=ln(a+1) 时， h(x)min=(a+1)−(a+1)ln(a+1)− b⩾0 ， (a+1)b⩽(a+1)2−(a+1)2ln(a+1)(a+1>0) .今 F(x)=x2−x2lnx(x>0) ，则 F′(x)=x(1−2lnx) . F′(x)>0⇔0<x<e；F′(x)<0⇔x>e. ∴ 当 x=e 时， F(x)max=e2 . ∴ 当 a=e−1，b=e2 时， (a+1)b 的最大值为 e2 .

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