题目

在矩形 中， ， ，点P为 上一点，沿直线 将 翻折至 ，点B落到点F处. （1） 如图（1），当点P为 的中点时，连接 ①求证： ； ②求 的长. （2） 如图（2），当点P在 上移动时，连接 ，求 的最小值，并说明你的理由. 答案： ①证明：∵△BCP翻折至△FCP，点B落到点F处， ∴∠BPC＝∠FPC， ∵点P为AB的中点， ∴PA＝PB＝PF， ∴∠PAF＝∠AFP， ∠BPC＋∠FPC＝∠PAF＋∠AFP＝180°−∠APE， ∴2∠FPC＝2∠AFP， ∴∠FPC＝∠AFP， ∴AF∥PC； ②解：过点P作PI⊥AF于点I， 由①知：∠AFP＝∠FPC＝∠BPC=∠PAF，   ∴AP=PF ∵PI⊥AF ∴AF=2FI ∵矩形ABCD， AD＝BC＝6，AP=PB＝PF＝2， 在Rt△PBC中， tan∠BPC＝BCPB＝62＝3 ∴tan∠BPC=tan∠AFP＝PIFI＝3 设FI＝x，则PI＝3x， 在Rt△PFI中，PI2＋FI2＝PF2， ∴（3x）2＋x2＝22， 解之：x1=105，x1=-105（不符合题意，舍去） ∴AF=2FI=2105. 解：当A，F，C三点共线时，AF的值最小，如图， 在Rt△ABC中 AC=AB2+BC2=62+42=213； ∵△BCP翻折至△FCP，点B落到点F处， ∴BC=FC=6 ∴AF=AC-FC=213-6， ∴AF的最小值为213-6.

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