题目

设椭圆 的右顶点为 ，上顶点为 .已知椭圆的焦距为 ，直线 的斜率为 . （1） 求椭圆的标准方程； （2） 设直线 （ ）与椭圆交于 ， 两点，且点 在第二象限. 与 延长线交于点 ，若 的面积是 面积的 倍，求 的值. 答案： 解：设椭圆的焦距为 2c ，由已知得 {−ba=−23a2−b2=5  ， 所以 a=3 ， b=2 ， 所以椭圆的方程为 x29+y24=1 解：设点 M(x1,y1) ， P(x0,y0) ，由题意， x0<x1<0 且 N(−x1,−y1) ， 由 ΔBNP 的面积是 ΔBMN 面积的 3 倍，可得 PN=3MN ， 所以 PN⇀=3MN⇀ ，从而 (−x1−x0,−y1−y0)=3(−2x1,−2y1) ， 所以 −x1−x0=−6x1 ，即 x0=5x1 . 易知直线 AB 的方程为 2x+3y=6 ，由 {2x+3y=6y=kx  ，消去 y ，可得 x0=63k+2 . 由方程组 {x29+y24=1y=kx  ，消去 y ，可得 x1=−69k2+4 . 由 x0=5x1 ，可得 63k+2=−309k2+4 ， 整理得 18k2+25k+8=0 ，解得 k=−89 或 k=−12 . 当 k=−89 时， x0=−9<0 ，符合题意；当 k=−12 时， x0=12>0 ，不符合题意，舍去. 综上， k 的值为 −89 .

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