题目

问题提出： 有一组对角互余的四边形称为对余四边形. （1） 若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为. （2） 问题探究： 如图①，在四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2+BC2＝AC2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形.证明你的结论； （3） 问题解决： 为贯彻“精准扶贫”战略思想，某驻村扶贫干部准备帮助村民老王在他家的田地中划出部分区域来种植经济作物以提高家庭经济收入.如图②，四边形ABCD是老王家的田地示意图.其中AF为一条小路、∠BAD＝60°，AD＝40米.AB＞ AD，∠ADC＝120°，DF＝20米.根据规划老王要在原有地块上划分出一个互余四边形AEFH来种粮食，剩余部分种植经济作物，十四五规划提出：严守18亿亩耕地红线，粮食一定要自给自足，当用来种粮的四边形地块AEFH满足点E在边AB上、点H在边AD上，且AE＝AH时；此地块出产粮食能够满足老王家生活所需.为切实落实扶贫工作，尽可能多种经济作物，要使四边形AEFH占地面积最小.请问能否找到满足条件的点E、H？如果能，求出四边形AEFH面积的最小值及面积最小时线段AH的值；如果不能，请说明理由.（小路的宽度忽略不计） 答案： 【1】90 ° 或270 ° 解：四边形ABCD为对余四边形， 证明：∵AD⊥BD， ∴∠ADB=90°， ∵DA=DB， ∴∠BAD=∠ABD=45°， 如图2，过点D作DM⊥CD，使CD=DM，连接CM，BM， ∴∠DMC=∠DCM=45°， ∵∠ADB=∠CDM=90°， ∴∠ADB+∠BDC=∠CDM+∠BDC， ∴∠ADC=∠BDM. 在△ADC和△BDM中， {DA=DB∠ADC=∠BDMDC=DM ， ∴△ADC≌△BDM（SAS）， ∴AC=BM. 在Rt△MDC中，根据勾股定理得，CM2=CD2+DM2=2CD2， ∵2CD2+CB2=AC2， ∴CM2+CB2=BM2， ∴△BCM是直角三角形，且∠BCM=90°， ∵∠DCM=45°， ∴∠DCB=∠BCM-∠DCM=45°， ∴∠DCB+∠DAB=90°， ∴四边形ABCD为对余四边形； 解：过D作DN⊥AB于N，过F作FK⊥AB 交AB延长线于K，过F作FR⊥AD交AD延长线于R，如图： 在Rt△DAN中，∠AND=90 ° ，∠DAN=60 ° ，AD=40米， ∴∠ADN=30 ° ， ∴AN= 12 AD=20(米)， ∴DN= AD2−AN2=203 (米)， ∵∠ADF=120°， ∴∠FDR=180°-∠ADF=60°， 在Rt△FRD中，∠FRD=90 ° ，∠FDR=60 ° ，DF=20米， ∴∠RFD=30 ° ， ∴DR= 12 DF=10(米)， ∴FR= DF2−DR2=103 (米)， ∴AR=AD+ DR=50(米)， ∵∠DAB+∠ADF=180°， ∴CD∥AB， ∵DN⊥AB，FK⊥AB， ∴∠DNK=∠FKN=∠NDF=∠KFD=90°， ∴四边形DNKF是矩形， ∴DF=NK=20米，DN=KF=20 3 米， ∴AK=AN+HK=40(米)， 在Rt△ARF中，∠ARF=90 ° ， ∴AF= AR2+FR2=207 (米)， 以FH为边向上构建等边△HFM，连接EM，EH， ∵∠HAE=60°，AH= AE， ∴△AHE是等边三角形， ∴AH=HE，∠AHE=60°， ∵△HFM是等边三角形， ∴HF=HM，∠MHF=∠HFM=60°， ∴∠AHE+∠EHF=∠FHM+∠EHF， ∴∠AHF=∠EHM， 在△AHF和△EHM中， {HA=HE∠AHF=∠EHMHF=HM ， ∴△AHF ≅ △EHM(SAS)， ∴AF=EM= 207 (米)， ∵四边形AEFH是互余四边形， ∴∠HAE+∠HFE=90°， ∴∠HFM+∠HFE=90°， ∴∠EFM=90°， 在Rt△EFM中，∠EFM=90°， EF2+FM2=EM2=(207)2=2800 (米)， 设AE=AH=x米， 则EK=AK-AE=40-x (米)，HR=AR-AH=50-x (米)， 在Rt△EKF中， EF2=EK2+FK2 ， EF2=(40−x)2+(203)2=x2−80x+2800 ， 在Rt△HRF中， HF2=HR2+FR2 ， HF2=(50−x)2+(103)2=x2−100x+2800 ， ∵ EF2+FM2=2800 ，即 EF2+HF2=2800 ， ∴ x2−80x+2800+x2−100x+2800=2800 ， 整理得： x2−90x+1400=0 ， 解得： x1=20，x2=70 (舍去)， ∴AE=AH=2 0 (米)， S四边形AEFH=S△AEF+S△AHF =12AE⋅FK+12AH⋅FR =12AE×(203+103) =153AE =3003 (平方米)， ∴能否找到满足条件的点E、H，使四边形AEFH是互余四边形， 四边形AEFH的面积为 3003 平方米，此时线段AH的长为2 0 米.

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