题目

如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，D为AB的中点，EF为△ACD的中位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形（矩形的四个顶点均在△ACD的边上）． （1） 计算矩形EFGH的面积； （2） 将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD重叠部分的面积为 时，求矩形平移的距离； （3） 如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形E1F1G1H1 ， 将矩形E1F1G1H1绕G1点按顺时针方向旋转，当H1落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形E2F2G1H2 ， 设旋转角为α，求cosα的值． 答案： 解：如图① ，在△ABC中，∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，∴AB=2，又∵D是AB的中点，∴AD=1， CD=12AB=1 ，又∵EF是△ACD的中位线，∴ EF=DF=12 ，在△ACD中，AD=CD，∠A=60°，∴∠ADC=60°，在△FGD中，GF=DF•sin60°= 34 ，∴矩形EFGH的面积 S=EF×GF=12×34=38 解：如图② ，设矩形移动的距离为x，则 0<x≤12 ，当矩形与△CBD重叠部分为三角形时，则 0<x≤14 ， S=12x×3x=316 ，∴ x=24>14 ．（舍去），当矩形与△CBD重叠部分为直角梯形时，则 14<x≤12 ，重叠部分的面积S= 34x−12×14×34=316 ，∴ x=38 ，即矩形移动的距离为 38 时，矩形与△CBD重叠部分的面积是 316 解：如图③， 作H2Q⊥AB于Q，设DQ=m，则 H2Q=3m ，又 DG1=14 ， H2G1=12 ．在Rt△H2QG1中， (3m)2+(m+14)2=(12)2 ，解之得 m=−1±1316 （负的舍去）．∴ cosα=QG1H2G1=−1+1316+1412=3+138

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