题目

如图，在四边形 中， ， ， 分别平分 ， ，并交线段 ， 于点 ， （点 ， 不重合）.在线段 上取点 ， （点 在 之间），使 .当点 从点 匀速运动到点 时，点 恰好从点 匀速运动到点 .记 ， ，已知 ，当 为 中点时， . （1） 判断 与 的位置关系，并说明理由. （2） 求 ， 的长. （3） 若 . ①当 时，通过计算比较 与 的大小关系. ②连结 ，当 所在直线经过四边形 的一个顶点时，求所有满足条件的的值. 答案： 解： DE 与 BF 的位置关系为： DE//BF ，理由如下： 如图1所示： ∵∠A=∠C=90° ， ∴∠ADC+∠ABC=360°−(∠A+∠C)=180° ， ∵DE 、 BF 分别平分 ∠ADC 、 ∠ABC ， ∴∠ADE=12∠ADC ， ∠ABF=12∠ABC ， ∴∠ADE+∠ABF=12×180°=90° ， ∵∠ADE+∠AED=90° ， ∴∠AED=∠ABF ， ∴DE//BF ； 解：令 x=0 ，得 y=12 ， ∴DE=12 ， 令 y=0 ，得 x=10 ， ∴MN=10 ， 把 y=245 代入 y=−65x+12 ， 解得： x=6 ，即 NQ=6 ， ∴QM=10−6=4 ， ∵Q 是 BF 中点， ∴FQ=QB ， ∵BM=2FN ， ∴FN+6=4+2FN ， 解得： FN=2 ， ∴BM=4 ， ∴BF=FN+MN+MB=16 ； 解：①连接 EM 并延长交 BC 于点 H ，如图2所示： ∵FM=2+10=12=DE ， DE//BF ，四边形 DFME 是平行四边形， ∴DF=EM ， ∵AD=6 ， DE=12 ， ∠A=90° ， ∴∠DEA=30° ， ∴∠DEA=∠FBE=∠FBC=30° ， ∴∠ADE=60° ， ∴∠ADE=∠CDE=∠FME=60° ， ∴∠DFM=∠DEM=120° ， ∴∠MEB=180°−120°−30°=30° ， ∴∠MEB=∠FBE=30° ， ∴∠EHB=180°−30°−30°−30°=90° ， DF=EM=BM=4 ， ∴MH=12BM=2 ， ∴EH=4+2=6 ， 由勾股定理得： HB=BM2−MH2=42−22=23 ， ∴BE=EH2−HB2=62+(23)2=43 ， 当 DP=DF 时， −65x+12=4 ，解得： x=203 ， ∴BQ=14−x=14−203=223 ， 223>43 ， ∴BQ>BE ； ②（Ⅰ）当 PQ 经过点 D 时，如图3所示： y=0 ，则 x=10 ； （Ⅱ）当 PQ 经过点 C 时，如图4所示： ∵BF=16 ， ∠FCB=90° ， ∠CBF=30° ， ∴CF=12BF=8 ， ∴CD=8+4=12 ， ∵FQ//DP ， ∴ΔCFQ∽ΔCDP ， FQDP=CFCD ， 2+x−65x+12=812 ，解得： x=103 ； （Ⅲ）当 PQ 经过点 A 时，如图5所示： ∵PE//BQ ， ∴ΔAPE∽ΔAQB ， PEBQ=AEAB ， 由勾股定理得： AE=DE2−AD2=122−62=63 ， ∴AB=63+43=103 ， 12−(−65x+12)14−x=63103 ， 解得： x=143 ， 由图可知， PQ 不可能过点 B ； 综上所述，当 x=10 或 x=103 或 x=143 时， PQ 所在的直线经过四边形 ABCD 的一个顶点.

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