题目

如图所示，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC＝DE，求出点D的坐标；（3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标．答案：解：∵抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（0，﹣3）， ∴ {1−b+c=0c=−3 ，解得 {b=−2c=−3 ，故抛物线的函数解析式为y=x2﹣2x﹣3 解：令x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则点C的坐标为（3，0）， ∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4， ∴点E坐标为（1，﹣4），设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F（如下图）， ∵DC2=OD2+OC2=m2+32，DE2=DF2+EF2=（m+4）2+12， ∵DC=DE， ∴m2+9=m2+8m+16+1，解得m=﹣1， ∴点D的坐标为（0，﹣1）解：∵点C（3，0），D（0，﹣1），E（1，﹣4）， ∴CO=DF=3，DO=EF=1，根据勾股定理，CD= OC2+OD2 = 32+12 = 10 ，在△COD和△DFE中， ∵ {CO=DF∠COD=∠DFE=90°DO=EF ， ∴△COD≌△DFE（SAS）， ∴∠EDF=∠DCO，又∵∠DCO+∠CDO=90°， ∴∠EDF+∠CDO=90°， ∴∠CDE=180°﹣90°=90°， ∴CD⊥DE，①当OC与CD是对应边时， ∵△DOC∽△PDC， ∴ OCDC=ODDP ，即 310 = 1DP ，解得DP= 103 ，过点P作PG⊥y轴于点G，则 DGDF=PGEF=DPDE ，即 DG3=PG1=10310 , 解得DG=1，PG= 13 ，当点P在点D的左边时，OG=DG﹣DO=1﹣1=0，所以点P（﹣ 13 ，0），当点P在点D的右边时，OG=DO+DG=1+1=2，所以，点P（ 13 ，﹣2）； ②当OC与DP是对应边时， ∵△DOC∽△CDP， ∴ OCDP=ODDC ，即 3DP = 110 ，解得DP=3 10 ，过点P作PG⊥y轴于点G，则 DGDF=PGEF=DPDE ，即 DG3=PG1=31010 ，解得DG=9，PG=3，当点P在点D的左边时，OG=DG﹣OD=9﹣1=8，所以，点P的坐标是（﹣3，8），当点P在点D的右边时，OG=OD+DG=1+9=10，所以，点P的坐标是（3，﹣10），综上所述，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，满足条件的点P共有4个，其坐标分别为（﹣ 13 ，0）、（ 13 ，﹣2）、（﹣3，8）、（3，﹣10）．

数学试题推荐

数学试卷推荐