题目

如图，在正三棱锥中，有一半径为1的半球，其底面圆O与正三棱锥的底面贴合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切．设点D为BC的中点， ． （1） 用分别表示线段BC和PD长度； （2） 当时，求三棱锥的侧面积S的最小值． 答案： 解：连接OP，由题意O为△ABC的中心， 且PO⊥面ABC，又AD⊂面ABC，所以PO⊥AD，所以△POD为直角三角形． 设半球与面PBC的切点为E，则|OE|=1且OE⊥PD． 在Rt△ODE中，|OE|sinα=|OD|=13×32|BC|，所以|BC|=23sinα． 在Rt△POD中，|PD|=|OD|cosα=1sinαcosα 解：由题知，S=3S△PBC=3×12×|BC|×|PD|=32×23sinα×1sinαcosα， 化简得S=33sin2αcosα，α∈(0，π2)， 令cosα=t，则上述函数变形为S(t)=33t−t3，t∈(0，1)， 所以S(t)=33(3t2−1)(t−)2，令S(t)=0，得t=33．当t∈(0，33)时， S(t)<0，S(t)单调递减，当t∈(33，1)时， S(t)>0，S(t)单调递增，所以当t=33时， 三棱锥的侧面积S的最小值为S(33)=272

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