题目

如图，已知四棱锥 的底面 为梯形， ，平面 平面 ， （1） E为 的中点，F在 上， ，求证： 平面 （2） 求 与平面 所成角的余弦值． 答案： 作 PC 的中点M，连结 ME、MB ， 因为 E 为 PD 的中点，所以 EM//CD 且 EM=12CD ， 又因为 AB//CD，AF=3FB，AB=2CD ，所以 FB=12CD ，且 FB//CD ， 所以 EM//FB 且 EM=FB ，所以四边形 EFBM 为平行四边形，所以 EF//MB ， 因为 EF⊄ 平面 PBC ， MB⊂ 平面 PBC ，所以 EF// 平面 PBC . 作 PO⊥AD 于 O ，因为平面 PAD⊥ 平面 ABCD ，平面 PAD∩ 平面 ABCD=AD ， PO⊥AD，PO⊂ 平面 PAD ，所以 PO⊥ 平面 ABCD ， 因为 PA2+PD2=AD2 ，所以 PD⊥PA ， PO=12AD=1 ， 分别以 OA，ON，OP 所在的直线为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 O−xyz ， 则 A(1，0，0)，C(−1，1，0)，P(0，0，1)，D(−1，0，0)，B(1，2，0) ， 可得 AC→=(−2，1，0)，CP→=(1，−1，0)，DP→=(1，0，1) ， 设平面 PDC 法向量为 n→=(x，y，z) ，则有 {n⇀⋅CP⇀=x−y+z=0n⇀⋅DP⇀=x+z=0 ， 令 x=1 ，可得 y=0，z=−1 ，所以平面 PDE 法向量为 n→=(1，0，−1) ， 则直线 AC 与平面 PDC 的角 θ 的正弦值为 sinθ=∣cos〈AC→，n→>|=|AC→⋅n→|AC→||n→||=|−2×(−1)+0+05×2|=105 ， 所以直线 AC 与平面 PDC 的角 θ 的余弦值为 cosθ=1−sin2θ=155 .

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