题目

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC和△AA1C均是边长为2的等边三角形，点O为AC中点，平面AA1C1C⊥平面ABC． （1） 证明：A1O⊥平面ABC； （2） 求直线AB与平面A1BC1所成角的正弦值． 答案： 证明：∵AA1=A1C，且O为AC的中点， ∴A1O⊥AC， 又∵平面AA1C1C⊥平面ABC，且交线为AC，又A1O⊂平面AA1C1C， ∴A1O⊥平面ABC 解：如图，以O为原点，OB，OC，OA1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系． 由已知可得O（0，0，0）A（0，-1，0） B(3,0,0),A1(0,0,3),C1(0,2,3) ， A1B⇀=(3,0,−3) ， AB⇀=(3,1,0),A1C1⇀=(0,2,0) 平面A1BC1的法向量为 n⇀=(x,y,z) ， 则有 {2y=03x−3z=0 ， 所以 n⇀ 的一组解为 n⇀=(1,0,1) ， 设直线AB与平面A1BC1所成角为 α ， 则 sinα=|cosAB⇀,n⇀| 又∵ cosAB⇀,n⇀=AB⇀⋅n⇀|AB⇀|⋅|n⇀|=322=64 ， 所以直线AB与平面A1BC1所成角的正弦值： 64

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