题目

如图，以AB为直径作半圆O，点C是半圆上一点，∠ABC的平分线交⊙O于E，D为BE延长线上一点，且∠DAE＝∠FAE. （1） 求证：AD为⊙O切线； （2） 若sin∠BAC＝ ，求tan∠AFO的值. 答案： 证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠1＝∠2， ∵∠1＝∠3，∠3＝∠4， ∴∠4＝∠2， ∵AB为直径， ∴∠AEB＝90°， ∵∠2+∠BAE＝90° ∴∠4+∠BAE＝90°，即∠BAD＝90°， ∴AD⊥AB， ∴AD为⊙O切线； 解：∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中，∵sin∠BAC＝ BCAB=35 ， ∴设BC＝3k，AC＝4k，则AB＝5k. 连接OE交OE于点G，如图， ∵∠1＝∠2， ∴ AE→=CE→ ， ∴OE⊥AC， ∴OE∥BC，AG＝CG＝2k， ∴OG＝ 12 BC＝ 32 k， ∴EG＝OE﹣OG＝k， ∵EG∥CB， ∴△EFG∽△BFC， ∴ FGCF=EGBC=k3k=13 ， ∴FG＝ 14 CG＝ 12 k， 在Rt△OGF中，tan∠GFO＝ OGFG=32k12k=3 ， 即tan∠AFO＝3.

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