题目

如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，4），点P在x轴上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′． （1） 求k、b的值； （2） 若点O′恰好落在直线AB上，求△ABP的面积； （3） 将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 答案： 解：∵ 直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，4） ∴ 4 k + b = 0 b = 4 ∴解得 k = - 1 b = 4 ∴k=-1，b=4 解：∵ 点P在x轴上运动， ∴可分P在x轴的正半轴和P在x轴的负半轴上两种情况讨论 ①如图①，当P在x轴的正半轴上时， ∵ 点O′恰好落在直线AB上 ∴OP=O′P，∠BO′P=∠BOP=90° ∵OB=OA=4 ∴ △AOB是等腰直角三角形 ∴AB= 4 2 ，∠OAB=45° ∵由折叠可得O′B=OB=4 ∴AO′= 4 2 - 4 ∵∠PO′A=90° ∴AO′=PO′=PO= 4 2 - 4 ∴S△ABP = 1 2 AB×PO′= 1 2 × 4 2 ×（ 4 2 - 4 ）= 16 + 8 2   ②如图②，当P在x轴的负半轴上时， 同理可得OP=O′P，∠BO′P=∠BOP=90°，OB=OA=4 ∵∠OAB=45° ∴AO′=PO′=PO= 4 2 + 4 ∴S△ABP = 1 2 AB×PO′= 1 2 × 4 2 ×（ 4 2 + 4 ）= 16 − 8 2   综上所述，△ABP的面积为 16 − 8 2  或  16 + 8 2 ； 解：分三类4种情况讨论： ①当BQ=QP时，如图2，P与O重合，此时，点P的坐标为（0，0） ​​​​​​​ ②当BP=QP时，如图3 ∵∠BPC=45° ∴∠BQP=∠PBQ=22.5° ∵∠OAB=45°=∠APB+∠PBQ ​​​​​​​∴∠APB=22.5° ​​​​​​​∴∠ABP=∠APB ∴AP=AB= 4 2 ∴OP=4+ 4 2 ∴P（4+ 4 2 ，0） ③当PB=PQ时，如图4，此时Q与C重合 ∵∠BPC=45° ​​​​​​​∴∠PBA=∠PCB=67.5° ∵∠APC=22.5° ​​​​​​​∴∠APB=45°+22.5°=67.5° ∴∠PBA=∠APB ∴AP=AB= 4 2 ∴OP= 4 2 -4 ∵P在x轴的负半轴上 ∴P（4- 4 2 ，0） ④当PB=BQ时，如图5，此时Q与A重合，则A与P关于y轴对称 ​​​​​​​∴P（-4，0） 综上所述，点P的坐标为：P（0，0）、P（4+ 4 2 ，0）、P（4- 4 2 ，0）以及P（-4，0）

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