题目

已知函数 ， . （1） 解不等式 ； （2） 若存在 使不等式 成立，求实数 的取值范围. 答案： 解：原不等式即 |x−5|+|2x−3|<5 ， ∴ {x≥5x−5+2x−3<5 或 {32≤x<55−x+2x−3<5 或 {x<325−x+3−2x<5 ， 所以 x 无解或 32≤x<3 或 1<x<32 ，即 1<x<3 , ∴原不等式的解集为 (1,3) . 解：若存在 x∈R 使不等式 2f(x)−g(x)≤a 成立，则 2f(x)−g(x) 的最小值小于或等于 a . 2f(x)−g(x)=2|x−5|−5+|2x−3| =|2x−10|+|2x−3|−5≥|2x−10−(2x−3)|−5=2 . 当且仅当 x∈[32,5] 时取等号，∴ 2f(x)−g(x) 的最小值为2. ∴ a≥2 .

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