题目

已知等差数列 的公差 ，数列 满足 ，集合 ． （1） 若 ，求集合 ； （2） 若 ，求 使得集合 恰好有两个元素； （3） 若集合 恰好有三个元素：bn+T=bn ，T是不超过7的正整数，求T的所有可能的值． 答案： 解： ∵ 等差数列 {an} 的公差 d∈(0,π] ，数列 {bn} 满足 bn=sin(an) ，集合 S={x|x=bn,n∈N*} ． ∴ 当 a1=0,d=2π3 ， 集合 S={−32,0,32} ． 解： ∵ a1=π2 ，数列 {bn} 满足 bn=sin(an) ，集合 S={x|x=bn,n∈N*} 恰好有两个元素，如图： 根据三角函数线，①等差数列 {an} 的终边落在 y 轴的正负半轴上时，集合 S 恰好有两个元素，此时 d=π ， ② a1 终边落在 OA 上，要使得集合 S 恰好有两个元素，可以使 a2 ， a3 的终边关于 y 轴对称， 如图 OB ， OC ， 此时 d=2π3 ， 综上， d=2π3 或者 d=π ． 解：①当 T=3 时， bn+3=bn ，集合 S={b1,b2,b3} ，符合题意． ②当 T=4 时， bn+4=bn ， sin(an+4d)=sinan ， an+4d=an+2kπ ，或者 an+4d=2kπ−an ， 等差数列 {an} 的公差 d∈(0,π] ，故 an+4d=an+2kπ ， d=kπ2 ，又 ∴ k=1,2 当 k=1 时满足条件，此时 S={−1,0,1} ． ③当 T=5 时， bn+5=bn ， sin(an+5d)=sinan ， an+5d=an+2kπ ，或者 an+5d=2kπ−an ，因为 d∈(0,π] ，故 k=1,2 ． 当 k=1 时， S={sinπ10,1,−sinπ10} 满足题意． ④当 T=6 时， bn+6=bn ， sin(an+6d)=sinan ， 所以 an+6d=an+2kπ 或者 an+6d=2kπ−an ， d∈(0,π] ，故 k=1,2,3 ． 当 k=1 时， S={32,1,32} ，满足题意． ⑤当 T=7 时， bn+7=bn ， sin(an+7d)=sinan ，所以 an+7d=an+2kπ ，或者 an+7d=2kπ−an ， d∈(0,π] ， ，故 k=1,2,3 当 k=1 时，因为 b1∼b7 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有 am−an=2π ， d=2πm−n=2π7 ， m−n=7 ， m>7 ，不符合条件． 当 K=2 时，因为 b1∼b7 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有 am−an=2π ， d=2πm−n=4π7 ， m−n 不是整数，不符合条件． 当 K=3 时，因为 b1∼b7 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有 am−an=2π 或者 4π ， d=2πm−n=6π7 ，或者 d=4πm−n=6π7 ，此时， m−n 均不是整数，不符合题意． 综上， T=3,4,5,6 ．

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