题目

已知函数f（x）= ，其中a＞0，且函数f（x）的最大值是 （1） 求实数a的值； （2） 若函数g（x）=lnf（x）﹣b有两个零点，求实数b的取值范围； （3） 若对任意的x∈（0，2），都有f（x）＜ 成立，求实数k的取值范围． 答案： 解：由题意得函数f（x）= axex 的导数为f′（x）= a(1−x)ex ， 因为a＞0，所以当x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，y=f（x）在（﹣∞，1）单调递增；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，y=f（x）在（1，+∞）单调递减； 则 f(x)max=f(1)=ae−1e ，则a=1 解：由题意知函数g（x）=lnf（x）﹣b=lnx﹣x﹣b，（x＞0） 所以g′（x）= 1x ﹣1= 1−xx ， 易得函数g（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以g（x）max=g（1）=﹣1﹣b，则依题意知﹣1﹣b＞0， 则b＜﹣1，所以实数b的取值范围是（﹣∞，﹣1） 解：由题知f（x）= xex ＜ 1k+2x−x2 对任意x∈（0，2）都成立， 所以k+2x﹣x2＞0，即k＞x2﹣2x对任意x∈（0，2）都成立，从而k≥0． 又不等式整理可得k＜ exx +x2﹣2x，令g（x）= exx +x2﹣2x，所以g′（x）= ex(x−1)x2 +2（x﹣1）=（x﹣1）（ exx2 +2），得x=1，当x∈（1，2）时，g′（x）＞0，函数g（x）在（1，2）上单调递增，同理，函数g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）min=g（1）=e﹣1，依题意得k＜g（x）min=g（1）=e﹣1， 综上所述，实数k的取值范围是[0，e﹣1）

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