题目

如图，已知抛物线 与 轴交于点 、 ，顶点为M． （1） 求抛物线的解析式和点M的坐标； （2） 点E是抛物线段BC上的一个动点，设 的面积为S，求出S的最大值，并求出此时点E的坐标； （3） 在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以A、P、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 答案： 解： ∵ 抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴交于点 A(−1,0) 、 B(3,0) ， ∴ {a−b+3=09a+3b+3=0 ． 解得 {a=−1b=2 ． ∴y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4 ，则 M(1,4) 解：如图，作 EF//y 轴交 BC 于点 F ∵B(3,0) ， C(0,3) ， ∴ 直线 BC 解析式为： y=−x+3 ． 设 E(m,−m2+2m+3) ，则 F(m,−m+3) ． ∴EF=(−m2+2m+3)−(−m+3)=−m2+3m ． ∴S=12EF⋅OB=12(−m2+3m)×3=−32(m−32)2+278 ． 当 m=32 时，S最大 =278 ． 此时，点 E 的坐标是 (32 ， 154) 解：设 P(1,n) ， A(−1,0) 、 C(0,3) ， ∴AC2=10 ， AP2=4+n2 ， CP2=1+(n−3)2=n2−6n+10 ． ①当 AC⊥AP 时， AC2+AP2=CP2 ，即 10+4+n2=n2−6n+10 ．解得 n=−23 ． ②当 AC⊥CP 时， AC2+CP2=AP2 ，即 10+n2−6n+10=4+n2 ．解得 n=83 ． ③当 AP⊥CP 时， AP2+CP2=AC2 ，即 4+n2+n2−6n+10=10 ．解得 n=1 或2． 综上所述，存在，符合条件的点 P 的坐标是 (1,−23) 或 (1,83) 或 (1,1) 或 (1,2) ，

查看本题答案和解析