题目

如图四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD．△PAD是正三角形，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD=CD=2AB，点E为PD中点． （I）证明：CD⊥平面PAD（II）证明：平面PBC⊥平面PCD（III）求二面角D﹣PB﹣C的余弦值． 答案：解：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，∴CD⊥AD， ∵侧面PAD⊥底面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD．（Ⅱ）证明：如图以AD的中点为原点，OD、OP方向分别为y轴、z轴建立坐标系，设AB=1，则A（0，﹣1，0），D（0，1，0），P（0，0， 3 ），B（1，﹣1，0），C（2，1，0）设面PBC的法向量为 m→=(x，y，z) ， BC→=(1，2，0)，BP→=(−1，1，3) ．由 {m→⋅BC→=x+2y=0m→⋅BP→=−x+y+3z=0 ，可得 m→=(2，−1，3) ，设面PDC的法向量为 n→=(a，b，c) ，由 {n→⋅DC→=2a=0n→⋅DP→=−b+3c=0 ，可得 n→=(0，3，1) ． m→⋅n→=2×0+(−1)×3+3×1=0 ，∴平面PBC⊥平面PCD．（Ⅲ）设面BDP的法向量为 d→=(e，f，h) ， BD→=(−1，2，0) ．由 {d→⋅BD→=−e+2f=0d→⋅BP→=−e+f+3h=0 ，可得 d→=(6，3，3) ，cos <m→，d→>=64 ，二面角D﹣PB﹣C的余弦值为 64 ．

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