题目

在 中，斜边AC的中点M关于BC的对称点O，将△ABC绕点O顺时针旋转至△DCE，连接BD，BE，如图所示. （1） 在① ，② ，③ 中，等于旋转角的是（填出满足条件的角的序号）； （2） 若 求 的大小（用含 的式子表示）； （3） 点N是BD的中点，连接MN，用等式表示线段MN与BE之间的数量关系，并证明. 答案： 【1】③ 解：连接 BM ， OB ， OC ， OE ， ∵ RtΔABC 中， ∠ABC=90 °， M 为 AC 的中点， ∴ MA=MB=MC=12AC ， ∴ ∠A=∠ABM ， ∵ ∠A = α ， ∴ ∠BMC=∠A+∠ABM=2α ， ∵点M和点O关于直线BC对称， ∴ ∠BOC=∠BMC=2α . ∵ OC=OB=OE ， ∴点C，B，E在以O为圆心， OB 为半径的圆上， ∴ ∠BEC=12∠BOC=α ； 解： MN=12BE .证明如下： 连接 BM 并延长到点 F ，使 BM=MF ，连接 FD . ∵ ∠A=α，∠ABC=90 °， ∴ ∠ACB=90 °- ∠A=90 ° −α ， ∴ ∠ DEC=∠ACB=90 ° −α ， ∵ ∠BEC=α ， ∴ ∠BED=∠BEC+∠DEC=90 °， ∵ BC=CE ， ∴ ∠CBE=∠CEB=α ， ∵ MB=MC ， ∴ ∠MBC=∠ACB=90 ° −α ， ∴ ∠MBE=∠MBC+∠CBE=90 °， ∴ ∠MBE+∠BED=180 °， ∴ BF ∥ DE ， ∵ AC=DE ， ∴ BF=DE ， ∴四边形 BFDE 是平行四边形. ∴ DF=BE ， ∵ BM=MF，BN=ND ， ∴ MN=12DF ， ∴ MN=12BE .

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