题目

已知函数f（x）=x3﹣ax，g（x）= x2﹣lnx﹣ ． （1） 若f（x）和g（x）在同一点处有相同的极值，求实数a的值； （2） 对于一切x∈（0，+∞），有不等式f（x）≥2x•g（x）﹣x2+5x﹣3恒成立，求实数a的取值范围； （3） 设G（x）= x2﹣ ﹣g（x），求证：G（x）＞ ﹣ ． 答案： 解：∵g′（x）=x﹣ 1x = x2−1x ，∴当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，则g（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，g'（x）＞0，则g（x）单调递增．∴g（x）极小值=g（1）=﹣2 又∵f（x）和g（x）在同一点处有相同的极值，∴f（1）=1﹣a=﹣2，即a=3 解：若使对于一切x∈（0，+∞），不等式f（x）≥2x•g（x）﹣x2+5x﹣3恒成立，则只需使得不等式 a≤2lnx+x+3x 恒成立，即只需 a≤(2lnx+x+3x)min 设 t(x)=2lnx+x+3x ，则 t'(x)=2x+1−3x2=(x−1)(x+3)x2(x>0) ，∴当x∈（0，1）时，t'（x）＜0，则t（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，t'（x）＞0，则t（x）单调递增．∴t（x）最小值=t（1）=4，∴a≤4，即a的取值范围为（﹣∞，4] 解：若证 G(x)>1ex−2ex ，则只需证明 lnx>1ex−2ex ，即证 xlnx>xex−2e 设m（x）=xlnx，则m'（x）=lnx+1，由于m（x）在 (0，1e) 单调递减，在 (1e，+∞) 单调递增，所以 m(x)min=m(1e)=−1e ；设 n(x)=xex−2e ，则 n'(x)=1−xex ，由于n（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，所以 n(x)max=n(1)=−1e ．所以m（x）≥n（x）又由于m（x）与n（x）不在同一个变量时取得最值，即m（x）＞n（x）综上所述， xlnx>xex−2e

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