题目

阅读与理解： 折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法.例如，在△ABC中，AB＞AC（如图），怎样证明∠C＞∠B呢？ 分析：把AC沿∠A的角平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C'处，即AC=AC'，据以上操作，易证明△ACD≌△AC'D，所以∠AC'D=∠C，又因为∠AC'D＞∠B，所以∠C＞∠B. 感悟与应用： （1） 如图（a），在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD平分∠ACB，试判断AC和AD、BC之间的数量关系，并说明理由； （2） 如图（b），在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AC=16，AD=8，DC=BC=12，   ①求证：∠B+∠D=180°；   ②求AB的长. 答案： 解：BC-AC=AD. 理由如下：如图（a），在CB上截取CE=CA，连接DE， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠ECD， 又CD=CD， ∴△ACD≌△ECD（SAS）， ∴DE=DA， ∵∠B=30°， ∴∠A=∠CED=60°， ∴∠CED=2∠CBA， ∵∠CED=∠CBA+∠BDE， ∴∠CBA=∠BDE， ∴DE=BE， ∴AD=BE， ∵BE=BC-CE=BC-AC， ∴BC-AC=AD. ①解：如图（b），在AB上截取AM=AD，连接CM， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC=∠MAC， ∵AC=AC， ∴△ADC≌△AMC（SAS）， ∴∠D=∠AMC，CD=CM=12， ∵CD=BC=12， ∴CM=CB， ∴∠B=∠CMB， ∵∠CMB+∠CMA=180°， ∴∠B+∠D=180°； ②证明：过点C作CN⊥AB于点N，设BN=a， ∵CB=CM=12， ∴BN=MN=a， 在Rt△BCN中，CN2=BC2-BN2=122-a2， 在Rt△ACN中，CN2=AC2-AN2=162-（8+a）2， 则122-a2=162-（8+a）2， 解得：a=3， 即BN=MN=3， 则AB=14.

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