题目

已知 （1） 若函数f(x)在 的切线平行于第一、三象限的平分线，求m的值； （2） 讨论函数f(x)的单调性； （3） 若f(x)恰有两个不同的零点 ，证明： . 答案： f′(x)=1x−m(x>0) ，由题意可得 f′(1)=1 ， 即 1−m=1 ，解得 m=0 . ∵ f(x)=lnx−mx(m∈R) ， ∴f′(x)=1x−m(x>0)   当 m≤0 时， f′(x)>0 恒成立， ∴ f(x) 在 (0，+∞) 上单调递增； 当 m>0 时，令 f′(x)>0 ，解得 0<x<1m ， 令 f′(x)<0 ，解得 x>1m ， 则 f(x) 在 (0，1m) 上单调递增，在 (1m，+∞) 上单调递减. 综上所述，当 m≤0 时， f(x) 在 (0，+∞) 上单调递增； 当 m>0 时， f(x) 在 (0，1m) 上单调递增，在 (1m，+∞) 上单调递减. ∵ x1，x2 是 f(x) 的两个零点， ∴lnx1=mx1 ， lnx2=mx2 ， ∴ m=lnx1−lnx2x1−x2 ， 则 f′(x1)+f′(x2)=1x1+1x2−2m=1x1+1x2−2⋅lnx1−lnx2x1−x2 ， 要证 f′(x1)+f′(x2)>0 ， 即证 1x1+1x2−2⋅lnx1−lnx2x1−x2>0 ， 不妨设 x1>x2>0 ， 则 1x1+1x2−2⋅lnx1−lnx2x1−x2>0 ， 等价于 x1x2−x2x1−2lnx1x2>0 ， 令 t=x1x2 ，则 t>1 ，构造函数 h(t)=t−1t−2lnt(t>1) ， ∴h′(t)=1+1t2−2t=(t−1)2t2(t>1) ， ∴h(t) 在 (1，+∞) 上单调递增，则 h(t)>h(1)=0 ， 即 t−1t−2lnt>0 对任意 t>1 恒成立， 故 f′(x1)+f′(x2)>0

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