题目

已知函数 在点 处取得极值 . （1） 求 的值； （2） 若 有极大值 ，求 在 上的最小值． 答案： 解：因f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b，由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，故有 {f′(2)=0f(2)=c−16 ，即 {12a+b=08a+2b+c=c−16 化简得 {12a+b=04a+b=−8 ，解得a＝1，b＝－12. 解：由(1)知f(x)＝x3－12x＋c；f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)．令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；当x∈(－2，2)时，f′(x)<0，故f(x)在(－2，2)上为减函数；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．由此可知f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x1＝2处取得极小值f(2)＝c－16.由题设条件知16＋c＝28得c＝12.此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝－16＋c＝－4，因此f(x)在[－3，3]上的最小值为f(2)＝－4

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