题目

已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N*），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1 ， S11=11b4 ． （13分）（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2nbn}的前n项和（n∈N*）． 答案：（Ⅰ）解：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．由已知b2+b3=12，得 b1(q+q2)=12 ，而b1=2，所以q2+q﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以， bn=2n ．由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8．由S11=11b4，可得a1+5d=16，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得an=3n﹣2．所以，{an}的通项公式为an=3n﹣2，{bn}的通项公式为 bn=2n ．（Ⅱ）解：设数列{a2nbn}的前n项和为Tn，由a2n=6n﹣2，有 Tn=4×2+10×22+16×23+⋯+(6n−2)×2n ， 2Tn=4×22+10×23+16×24+⋯+(6n−8)×2n+(6n−2)×2n+1 ，上述两式相减，得 −Tn=4×2+6×22+6×23+⋯+6×2n−(6n−2)×2n+1 = 12×(1−2n)1−2−4−(6n−2)×2n+1=−(3n−4)2n+2−16 ．得 Tn=(3n−4)2n+2+16 ．所以，数列{a2nbn}的前n项和为（3n﹣4）2n+2+16．

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