题目

如图，已知多面体 中， 为菱形， ， 平面 ， ， ， . （1） 求证：平面 平面 ； （2） 求二面角 的余弦值. 答案： 证明：∵ AE//CF ，∴四点 A 、 C 、 F 、 E 共面. 如图所示，连接 AC ， BD ，相交于点 O ， ∵四边形 ABCD 是菱形，∴对角线 BD⊥AC ， ∵ AE⊥ 平面 ABCD ， ∴ AE⊥BD ，又 AE∩​AC=A ， ∴ BD⊥ 平面 ACFE ， ∴ BD⊥AF ， 又 AF⊥BE ， BE∩​BD=B ， ∴ AF⊥ 平面 BDE ， AF⊂ 平面 BAF ， ∴平面 BAF⊥ 平面 BDE . 解：取 BC 的中点 M ， ∵ ∠ABC=60° ， AB=BC ， ∴ ΔABC 是等边三角形，∴ AM⊥BC ， 又 BC//AD ，∴ AM⊥AD ， 以A点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(0,0,0) ， B(32,−12,0) ， F(32,12,z) ， D(0,1,0) ， E(0,0,1) . AB⇀=(32,−12,0) ， AF⇀=(32,12,z) ， AD⇀=(0,1,0) ， BE⇀=(−32,12,1) . ∵ AF⊥BE . ∴ AF⇀⋅BE⇀=−34+14+z=0 ，解得 z=12 . 设平面 ABF 的法向量为 m⇀=(x,y,z) ， 则 {m⇀⋅AB⇀=0m⇀⋅AF⇀=0  ，∴ {32x−12y=032x+12y+12z=0  ， 取 m⇀=(1,3,−23) . 同理可得：平面 AFD 的法向量 n⇀=(1,0,−3) . ∴ cos〈m⇀,n⇀〉=m⇀⋅n⇀|m⇀||n⇀|=72×4=78 . 由图可知：二面角 B−AF−D 的平面角为钝角， ∴二面角 B−AF−D 的余弦值为 −78

查看本题答案和解析