题目

如图，顶点M（0，﹣1）在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A，B两点，且点A在x轴上，连结AM，BM．（1）求点A的坐标和这个抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）求点B的坐标；（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点？  答案：解：∵点A是直线y=x+1与x轴的交点，∴A（﹣1，0）．设顶点为（0，﹣1）的抛物线的解析式为y=ax2﹣1，∵点A（﹣1，0）在抛物线y=ax2﹣1上，∴0=a﹣1，∴a=1，∴抛物线的解析式为y=x2﹣1；（2）解方程组 y=x+1y=x2-1，得 x1=-1y1=0，x2=2y2=3，故点B的坐标为（2，3）；（3）设平移后的抛物线的解析式为y=（x﹣m）2+2m，把y=x代入y=（x﹣m）2+2m，得x=（x﹣m）2+2m，整理得，x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0，由题可得△=（2m+1）2﹣4×1×（m2+2m）=1﹣4m≥0，解得m≤14．故当m≤14时，平移后的抛物线总有不动点．

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