题目

已知函数 ． （1） 求函数 在区间 的最小值； （2） 关于 的方程 在 上有两个不同解，求实数 的取值范围． 答案： 解：当 a≤−32 时， f(x) 在区间 [−32，32] 上单调递增，此时 f(x)min=f(−32)=2a2+3a+174 ； 当 −32<a<32 时， f(x) 在区间 [−32，a] 上单调递减，在区间 [a，32] 上单调递增， 此时 f(x)min=f(a)=a2+2 ； 当 a>32 时， f(x) 在区间 [−32，32] 上单调递减，此时 f(x)min=f(32)=2a2−3a+174 . 综上所述 f(x)min={2a2+3a+174，a<−32a2+2，−32≤a≤322a2−3a+174，a>32 . 解：关于 x 的方程 f(x)=2a2 在 (0，2) 上有两个不同解， 即 x2−2ax+2=0 在 (0，2) 上有两个不同解， 令 g(x)=x2−2ax+2 ， x∈(0，2) ，则 {Δ=4a2−8>00<a<2g(0)=2>0g(2)=6−4a>0 ，解得 2<a<32 . 故实数 a 的取值范围为 (2，32) ．

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