题目

设关于x的不等式 的解集为A ， 集合 ， （1） 若对任意的 ，都有 ，求实数a的取值范围； （2） 若对任意 ，存在 ，使不等式 成立，求实数 的取值范围. 答案： 若对任意的 x∈A ，都有 x∈B ，则 A⊆B ， B={x|x−2x−1≤0}=(1，2] ， 当 a=0 时， A=∅ ，符合题意； 当 a<0 时，方程 ax2−3ax+1≤0(a∈R) 的判别式 Δ=9a2−4a>0 ， 两根 x1=3a−9a2−4a2a，x2=3a+9a2−4a2a ， x1>x2 ， 则 A=(−∞，3a+9a2−4a2a]∪[3a−9a2−4a2a，+∞) ，不合题意； 当 a>0 时， 若 Δ=9a2−4a<0 ，即 0<a<49 时， A=∅ ，符合题意； 若 Δ=9a2−4a≥0 ，即 a≥49 时， 方程两根 x1=3a−9a2−4a2a，x2=3a+9a2−4a2a ， x1≤x2 ， 则 A={x|3a−9a2−4a2a≤x≤3a+9a2−4a2a} ， 则当 A⊆B 时， 1<x1≤x2≤2 ， 由于 y=ax2−3ax+1 的对称轴为 x=32 ， 则当 x=1 时， y=ax2−3ax+1>0 即 a−3a+1>0 ，所以 49≤a<12 ； 综上所述， 0≤a<12 ； 由题意不等式 x12+(x2−2)x1+x22−mx2−3≥0 在 x1∈R 上恒成立， 所以 Δ=(x2−2)2−4(x22−mx2−3)≤0 ，即 3x22−(4m−4)x2−16≥0 ， 所以存在 x2∈(1，2] ，使不等式 3x22−(4m−4)x2−16≥0 成立， 设 h(x2)=3x22−(4m−4)x2−16 ，则只需 h(1)>0 或 h(2)≥0 ， 即 3−(4m−4)−16>0 或 12−2(4m−4)−16≥0 ， 所以 m<−94 或 m≤12 ， 所以实数 m 的取值范围为 (−∞，12] .

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