题目

已知抛物线 经过点 ，与 轴交于点 ． （1） 求这条抛物线的解析式； （2） 如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形 的面积最大时，求点 的坐标； （3） 如图2，线段 的垂直平分线交 轴于点 ，垂足为 为抛物线的顶点，在直线 上是否存在一点 ，使 的周长最小？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 答案： 解： ∵ 抛物线 y＝ax+bx−4 经过点 A(−2，0)，B(4，0) ， ∴{4a+2b−4=016a−4b−4=0 ， 解得 {a=12b=1， ∴ 抛物线解析式为 y＝x2−x−4 解：如图1，连接 OP ，设点 P(x，12x2+x−4) ，其中 −4<x<0 ，四边形 ABPC 的面积为 S ，由题意得 C（0，−4） ， ∴S＝S△AOC+S△OCP+S△OBP =12×2×4+12×4×(−x) +12×4×(−12x2−x+4) ， ＝4−2x−x2−2x+8 ， ＝-x2−4x+12 ， ＝(x+2)2+16 ． ∵﹣1<0 ，开口向下， S 有最大值， ∴ 当 x＝-2 时，四边形 ABPC 的面积最大， 此时， y＝-4 ，即 P(−2，−4) ． 因此当四边形 ABPC 的面积最大时，点 P 的坐标为 (−2，−4) ． 解： y=12x2+x−4=12(x+1)2−92 ， ∴ 顶点 M(−1，−92) ． 如图2，连接 AM 交直线 DE 于点 G ，此时， △CMG 的周长最小． 设直线 AM 的解析式为 y＝kx+b ，且过点 A（2，0） ， M(−1，−92) ， ∴{2k+b=0−k+b=−92， ∴ 直线 AM 的解析式为 y=32x−3 ． 在 Rt△AOC 中， AC=OA2+OC2=22+42=25 ． ∵D 为 AC 的中点， ∴AD=12AC=5 ， ∵△ADE∽△AOC ， ∴ADAO=AEAC ， ∴52=AE25 ， ∴AE＝5 ， ∴OE＝AE−AO＝5−2＝3 ， ∴E(-3，0) ， 由图可知 D(1，−2) 设直线 DE 的函数解析式为 y=mx+n ， ∴{m+n=−2−3m+n=0， 解得： {m=−12n=−32， ∴ 直线 DE 的解析式为 y=−12x−32 ． ∴{y=−12x−32y=32x−3， 解得： {x=34y=−158， ∴G(34，−158) ．

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