题目

如图，为正六棱柱 ，底面边长 ，高 . （1） 若 ，求异面直线 和 所成角的大小； （2） 计算四面体 的体积（用 来表示）； （3） 若正六棱柱为一容器（有盖），且底面边长a和高h满足： （ 为定值），则当底面边长a和高h分别取得何值时，正六棱柱的表面积与体积之比最小？ 答案： 解：补形如图：延长 EF,BA 相交于G点，延长 E1F1,B1A1 相交于H点，连接 GH 由正六边形性质知 BCFG 是平行四边形，从而得 BCFG−B1C1F1H 是直四棱柱，则 BC//HF1 且 BC=HF1 所以四边形 BCF1H 是平行四边形，所以 CF1//BH , 所以异面直线 BD1 和 CF1 所成角的大小即为直线 BD1 和 BH 所成角的大小. 在三角形 BD1H 中，由平面几何知识和余弦定理得： D1H=7a ， BH=5a ， BD1=2a , cos∠HBD1=BH2+BD12−HD122BH⋅BD1=5a2+4a2−7a225a⋅2a=510   ∴∠HBD1=arccos510 解：如图，建立分别以 FB，FE,FF1 为 x,y,z 轴的空间直角坐标系， 则 B(3a,0,0) ， C(3a,a,0) ， D1(3a2,3a2,h) ， F1(0,0,h) BC→=(0,a,0) ， BF1→=(−3a,0,h) ， CD1→=(−3a2,a2,h) 设平面 BF1C 法向量为 n→=(x,y,z) {n⇀⋅BC⇀=0n⇀⋅BF1⇀=0  , {ay=0−3ax+hz=0 ，令 x=3 ，则 z=3ah ， y=0 n→=(3,0,3ah) 所以 D1 到平面 BF1C 的距离 d=|n→⋅CD1→||n→|=−3a2×3+a2×0+h×3ah3+9a2h2=3ah23h2+9a2 又 F1C=4a2+h2 ， BC=a ， BF1=3a2+h2 , ∴BC2+BF12=F1C2   ∴SΔBF1C=12BC⋅BF1=12a3a2+h2 VD1−BF1C=13SΔBF1C×d=13×12a3a2+h2×3ah23h2+9a2=312a2h   解：由题知，正六棱柱的表面积 S=6ha+2×6×12×a2sin60∘=6ha+33a2 正六棱柱的体积 V=6×12×a2sin60∘×h=332a2h ∴VS=332a2h6ha+33a2=3a2h4ha+23a2=3ah4h+23a  又 2h+3a=k ∴VS=hk−2h22k=h2−h2k=−1k(h−k4)2+k16 所以当 h=k4 时， VS 有最大值，也即 SV 取得最小值， 此时 h=k4 ， a=36k

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