题目

已知函数 ， ． （1） 若 ， 判断函数的单调性； （2） 若函数的导函数有两个零点 ， 证明： ． 答案： 解：若a=3，则y=f(x)−g(x)=lnx−3x2+6x(x>0)，所以y′=1x−6x+6=−6x2+6x+1x=−6x2−6x−1x，由y′=−6x2−6x−1x>0，得0<x<3+156；由y′=−6x2−6x−1x<0，得x>3+156．所以y=f(x)−g(x)在(0，3+156)上单调递增，在(3+156，+∞)上单调递减． 证明：因为函数h(x)=f(x)+g(x)，所以h(x)=lnx+ax2−2ax(x>0)，所以h′(x)=1x+2ax−2a=2ax2−2ax+1x．若函数h′(x)有两个零点x1，x2(x1<x2)，则方程2ax2−2ax+1=0的判别式Δ=4a2−8a>0，x1+x2=1，x1x2=12a>0，所以a>2．又x1<x2，所以x12<x1x2=12a，即0<x1<12a，h(x2)−h(x1)=lnx2+ax22−2ax2−(lnx1+ax12−2ax1)=−lnx1+ln12ax1+a(x22−x12)+2a(x1−x2)=−lnx1−ln(2ax1)−a+2ax1，欲证h(x2)−h(x1)>f(2a)+g(1)，只需证−lnx1−ln(2ax1)−a+2ax1>ln2a−a，即证lnx1+ln(2ax1)−2ax1<−ln2a．设u(t)=lnt+ln(2at)−2at=2lnt+ln(2a)−2at，其中t=x1∈(0，12a)，由u′(t)=2t−2a=0，得t=1a．因为a>2，所以1a−12a=2−2a2a<0，由{u′(t)=2t−2a>0，0<t<12a，得0<t<1a；由{u′(t)=2t−2a<0，0<t<12a，得1a<t<12a．所以u(t)在(0，1a)上单调递增，在(1a，12a)上单调递减，所以u(t)的最大值为u(1a)=−lna+ln2−2=ln2a+2ln2−2<−ln2a，从而h(x2)−h(x1)>f(2a)+g(1)成立．

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