题目

如图，BC是半⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点的切线交CB的延长线于点P，过点B的切线交CA的延长线于点E，AP与BE相交于点F. （1） 求证：BF＝EF； （2） 若AF＝ ，半⊙O的半径为2，求PA的长度. 答案： 证明：连接OA， ∵AF、BF为半⊙O的切线， ∴AF＝BF，∠FAO＝∠EBC＝90°， ∴∠E+∠C＝∠EAF+∠OAC＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠C＝∠OAC， ∴∠E＝∠EAF， ∴AF＝EF， ∴BF＝EF 解：连接AB， ∵AF、BF为半⊙O的切线， ∴∠OAP＝∠OBE＝90°，且BF＝AF＝1.5， 又∵tan∠P＝ OAPA=BFPB ，即 2PA=1.5PB ， ∴PB＝ 34PA ， ∵∠PAE+∠OAC＝∠AEB+∠OCA＝90°，且∠OAC＝∠OCA， ∴∠PAE＝∠AEB，∠P＝∠P， ∴△APB∽△CPA， ∴ PBPA=PAPC ，即PA2＝PB•PC， ∴ PA2=34PA⋅(34PA+4) ，解得PA＝ 487 .

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