题目

∠MON=90°，点A，B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）. （1） 如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB=° （2） 如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D①若∠BAO=60°，则∠D=  ▲  .②随着点A，B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由. （3） 如图③，延长MO至Q，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线及其延长线相交于点E、F，在△中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO的度数. 答案： 【1】135 ①45°；②∠D的度数不随A、B的移动而发生变化设∠BAD=α，因为AD平分∠BAO，所以∠BAO=2α，因为∠AOB=90°，所以∠ABN=180°−∠ABO=∠AOB+∠BAO=90+2α。因为BC平分∠ABN，所以∠ABC=45°+α。又因为∠ABC=180°−∠ABD=∠D+∠BAD。所以∠D=∠ABC−∠BAD=45°+α−α=45° 解：因为∠BAO与∠BOQ的平分线交于点E，所以∠AOE=135°，所以∠E=180°−∠EAO−∠AOE=45°−∠EAO=45°−12∠BAO=45°−12(180°−90°−∠ABO)=12∠ABO因为AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的平分线，所以∠EAF=12∠BAO+12∠GAO=12×180°=90°在△AEF中，若有一个角是另一个角的3倍，则①当∠EAF=3∠E时，得∠E=30°，此时∠ABO=60°②当∠EAF=3∠F时，得∠E=60°，此时∠ABO=120°>90°，舍去。③当∠F=3∠E时，得∠E=14×90°=22.5°，此时∠ABO=45°④当∠E=3∠F时，得∠E=34×90°=67.5°，此时∠ABO=135°>90°，舍去。综上可知，∠ABO的度数为60°或45°。

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