题目

已知函数 ． （1） 求f（x）的反函数f﹣1（x）； （2） 求不等式f（x）＞0的解集； （3） 讨论f（x）的单调性． 答案： 解：由y= lnx+1x−1 得ey= x+1x−1 ． xey﹣ey=x+1，…（2分）xey﹣x=ey+1，即（ey﹣1）x=ey+1，∴x= ey+1ey−1 （y≠0）．∴f﹣1（x）= ex+1ex−1 （x≠0） 解：∵ x+1x−1 ＞0， ∴x＜﹣1或x＞1．所以，函数定义域为{x|x＜﹣1或x＞1}．根据题意， lnx+1x−1 ＞0，即 lnx+1x−1 ＞ln1，∴ x+1x−1 ＞1．即 x+1x−1−1 ＞0，也就是 x+1−(x−1)x−1 = 2x−1 ＞0，∴x＞1． 所以，不等式f（x）＞0的解集为{x|x＞1}． 解：解法一： 设t= x+1x−1 ，则y=lnt，x＜﹣1或x＞1．t= x+1x−1 = x−1+2x−1 =1+ 2x−1 ． t= 2x 向上平移1个单位得到t= 2x +1，再向右平移1个单位得到t= 2x ，t=1+ 2x−1 当x∈（﹣∞，﹣1）时，t是x的减函数，y是t的增函数； 当x∈（1，+∞）时，t是x的减函数，y是t的增函数． 所以，函数f（x）在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）上都是减函数． 解法二：设x1，x2是（1，+∞）上的任意两个实数，且x1＜x1， 则f（x1）﹣f（x2）= lnx1+1x1−1 ﹣ lnx2+1x2−1 = ln(x1+1)(x2−1)(x1−1)(x2+1) ∵ (x1+1)(x2−1)(x1−1)(x2+1) ﹣1= (x1+1)(x2−1)−(x1−1)(x2+1)(x1−1)(x2+1) = 2(x2−x1)(x1−1)(x2+1) ∵1＜x1＜x1，x2，∴x2﹣x1＞0，x1﹣1＞0，x2+1＞0．∴ (x1+1)(x2−1)(x1−1)(x2+1) ＞1． 从而f（x1）﹣f（x2）= ln(x1+1)(x2−1)(x1−1)(x2+1) ＞ln1=0．即f（x1）＞f（x2）．所以，函数f（x）在（1，+∞）上是减函数． 同理，函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上也是减函数．

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