题目

在三棱锥P﹣ABC中，底面ABC为直角三角形，AB=BC，PA⊥平面ABC． （1） 证明：BC⊥PB； （2） 若D为AC的中点，且PA=4，AB=2 ，求点D到平面PBC的距离． 答案： 解：∵△ABC为直角三角形，AB=BC，∴AB⊥BC， ∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，BC⊥平面PAB，∵PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB 解：由AB=BC，PA=4， AB=22 ， 根据已知得 PB=26 ，∴ S△PBC=12BC·PB=12×22×26=43 ， S△DBC=12S△ABC=12×12×22×22=2 ，∴ VP−DBC=13S△DBC×PA=83 ，设点D到平面PBC的距离为h，则 VD−PBC=h3S△PBC=43h3 ，∵VP﹣DBC=VD﹣PBC，∴ h=233 ．∴点D到平面PBC的距离为 233 ．

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