题目

给出以下三个条件：① ， ， 成等差数列；②对于 ，点 均在函数 的图象上，其中 为常数；③ ．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解． 设 是一个公比为 的等比数列，且它的首项 ，． （1） 求数列 的通项公式； （2） 令 ，证明数列 的前 项和 ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 答案： 解：选①进行作答 因为 4a3 ， 3a4 ， 2a5 成等差数列，所以 6a4=4a3+2a5 ， ∴6a3⋅q=4a3+2a3q2 ， 解得 q=1 （舍 ) 或 q=2 ，所以 an=2n−1 ； 选②进行作答 由题意得 Sn=2n−a ，因为 a1=S1=2−a=1 ，所以 a=1 ，所以 Sn=2n−1 ，当 n⩾2 时， Sn−1=2n−1−1 ， ∴n⩾2,an=Sn−Sn−1=2n−1 ，当 n=1 时， a1=1 ，符合上式，所以 an=2n−1 ； 若选③作答 由 S3=7 ， a1+a2+a3=7 ， a1+a1⋅q+a1⋅q2=7 ，解得 q=2 或 q=−3 ， 又因为 q>0 ，所以 q=2 ，所以 an=2n−1 . 证明： bn=2log22n−1+1=2n−1 ， 1bn·bn+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1) ， 所以 Tn=12(1−13+13−15+…+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1) ， 因为 n∈N+ ，所以 1−12n+1<1 ，所以 Tn<12 ，得证．

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