题目

如图，在 中， ，以AC为直径作 交BC于点D，过点D作 ，垂足为E，延长BA交 于点F. （1） 求证：DE是 的切线 （2） 若 ，求 的半径. 答案： 证明：连接OD； ∵OD=OC， ∴∠C=∠ODC， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠B=∠ODC， ∴OD ∥ AB， ∴∠ODE=∠DEB； ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∴∠ODE=90°， 即DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线 解：连接CF， 由（1）知OD⊥DE， ∵DE⊥AB， ∴OD ∥ AB， ∵OA=OC， ∴BD=CD，即OD是△ABC的中位线， ∵AC是 ⊙O 的直径， ∴∠CFA=90°， ∵DE⊥AB， ∴∠BED=90°， ∴∠CFA=∠BED=90°， ∴DE ∥ CF， ∴BE=EF，即DE是△FBC的中位线， ∴CF=2DE， ∵ AEDE=23 ， ∴设AE=2x，DE=3k，CF=6k， ∵AF=10， ∴BE=EF=AE+AF=2k+10， ∴AC=BA=EF+AE=4k+10， 在Rt△ACF中，由勾股定理，得 AC2=AF2+CF2，即(4k+10)2=102+(6k)2， 解得：k=4， ∴AC=4k+10=4×4+10=26， ∴OA=13， 即 ⊙O 的半径为13.

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