题目

如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与直线 都经过 、 两点，该抛物线的顶点为C ． （1） 求此抛物线和直线 的解析式； （2） 设直线 与该抛物线的对称轴交于点E ， 在射线 上是否存在一点M ， 过M作x轴的垂线交抛物线于点N ， 使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3） 设点P是直线 下方抛物线上的一动点，当 面积最大时，求点P的坐标，并求 面积的最大值． 答案： 解：∵抛物线 y=ax2−2x+c 经过 A(0,−3) 、 B(3,0) 两点， ∴ {9a−6+c=0c=−3 ， ∴ {a=1c=−3 ， ∴抛物线的解析式为 y=x2−2x−3 ， ∵直线 y=kx+b 经过 A(0,−3) 、 B(3,0) 两点， ∴ {3k+b=0b=−3 ，解得： {k=1b=−3 ， ∴直线 AB 的解析式为 y=x−3 解：∵ y=x2−2x−3=(x−1)2−4 ， ∴抛物线的顶点C的坐标为 (1,−4) ， ∵ CE//y 轴， ∴ E(1,−2) ， ∴ CE=2 ， ①如图，若点M在x轴下方，四边形 CEMN 为平行四边形，则 CE=MN ， 设 M(a,a−3) ，则 N(a,a2−2a−3) ， ∴ MN=a−3−(a2−2a−3)=−a2+3a ， ∴ −a2+3a=2 ， 解得： a=2 ， a=1 （舍去）， ∴ M(2,−1) ， ②如图，若点M在x轴上方，四边形 CENM 为平行四边形，则 CE=MN ， 设 M(a,a−3) ，则 N(a,a2−2a−3) ， ∴ MN=a2−2a−3−(a−3)=a2−3a ， ∴ a2−3a=2 ， 解得： a=3+172 ， a=3−172 （舍去）， ∴ M(3+172,−3+172) ， 综合可得M点的坐标为 (2,−1) 或 (3+172,−3+172) 解：如图，作 PG//y 轴交直线 AB 于点G， 设 P(m,m2−2m−3) ，则 G(m,m−3) ， ∴ PG=m−3−(m2−2m−3)=−m2+3m ， ∴ SΔPAB=SΔPGA+SΔPGB=12PG·OB=12×(−m2+3m)×3=−32m2+92m=−32(m−32)2+278 ， ∴当 m=32 时， ΔPAB 面积的最大值是 278 ，此时P点坐标为 (32,−32) ．

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