题目

已知：点A、C、B不在同一条直线上，AD∥BE （1） 如图①，当∠A=58°，∠B=118°时，求∠C的度数； （2） 如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与∠AQB的数量关系； （3） 如图③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，QP⊥PB，直接写出∠DAC：∠ACB：∠CBE的值． 答案： 解：在图①中，过点C作CF∥AD，则CF∥BE．∵CF∥AD∥BE，∴∠ACF=∠A，∠BCF=180°﹣∠B，∴∠ACB=∠ACF+∠BCF=180°﹣（∠B﹣∠A）=120°． 解：在图②中，过点Q作QM∥AD，则QM∥BE．∵QM∥AD，QM∥BE，∴∠AQM=∠NAD，∠BQM=∠EBQ．∵AQ平分∠CAD，BQ平分∠CBE，∴∠NAD= 12 ∠CAD，∠EBQ= 12 ∠CBE，∴∠AQB=∠BQM﹣∠AQM= 12 （∠CBE﹣∠CAD）．∵∠C=180°﹣（∠CBE﹣∠CAD）=180°﹣2∠AQB，∴2∠AQB+∠C=180°． 解：∵AC∥QB，∴∠AQB=∠CAP= 12 ∠CAD，∠ACP=∠PBQ= 12 ∠CBE，∴∠ACB=180°﹣∠ACP=180°﹣ 12 ∠CBE．∵2∠AQB+∠ACB=180°，∴∠CAD= 12 ∠CBE．又∵QP⊥PB，∴∠CAP+∠ACP=90°，即∠CAD+∠CBE=180°，∴∠CAD=60°，∠CBE=120°，∴∠ACB=180°﹣（∠CBE﹣∠CAD）=120°，∴∠DAC：∠ACB：∠CBE=60°：120°：120°=1：2：2．

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