题目

已知在梯形ABCD中，AD∥BC ， AC＝BC＝10，cos∠ACB＝ ，点E在对角线AC上（不与点A、C重合），∠EDC＝∠ACB ， DE的延长线与射线CB交于点F ， 设AD的长为x ． （1） 如图1，当DF⊥BC时，求AD的长； （2） 设EC＝y ， 求y关于x的函数解析式，并直接写出定义域； （3） 当△DFC是等腰三角形时，求AD的长． 答案： 设∠ACB＝∠EDC＝∠α＝∠CAD， ∵cosα＝ 45 ， ∴sinα＝ 35 ， 过点A作AH⊥BC交于点H， AH＝AC•sinα＝6＝DF，BH＝2， 如图1，设：FC＝4a， ∴cos∠ACB＝ 45 ，则EF＝3a，EC＝5a， ∵∠EDC＝∠α＝∠CAD，∠ACD＝∠ACD， ∴△ADC∽△DCE， ∴AC•CE＝CD2＝DF2+FC2＝36+16a2＝10•5a， 解得：a＝2或 98 （舍去a＝2）， AD＝HF＝10﹣2﹣4a＝ 72 ； 过点C作CH⊥AD交AD的延长线于点H， CD2＝CH2+DH2＝（ACsinα）2+（ACcosα﹣x）2， 即：CD2＝36+（8﹣x）2， 由（1）得：AC•CE＝CD2， 即：y＝ 110 x2﹣ 85 x+10（0＜x≤10）…①， ①当DF＝DC时， ∵∠ECF＝∠FDC＝α，∠DFC＝∠DFC， ∴△DFC∽△CFE，∵DF＝DC， ∴FC＝EC＝y，∴x+y＝10， 即：10＝ 110 x2﹣ 85 x+10+x， 解得：x＝6； ②当FC＝DC， 则∠DFC＝∠FDC＝α， 则：EF＝EC＝y，DE＝AE＝10﹣y， 在等腰△ADE中，cos∠DAE＝cosα＝ 12ADAE=12x10−y=45 ， 即：5x+8y＝80， 将上式代入①式并解得：x＝ 394 ； ③当FC＝FD， 则∠FCD＝∠FDC＝α，而∠ECF＝α≠∠FCD，不成立， 故：该情况不存在； 故：AD的长为6和 394 ．

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