题目

已知函数 ， ， 为 的导数，且 .证明： （参考数据： ， ， ， ， .） （1） 在 内有唯一零点； （2） . 答案： 证明：由题意，函数 f(x)=xsinx ，则 f′(x)=sinx+xcosx 所以  g(x)=f'(x)=xcosx+sinx ， 当 x∈(0,π2] 时，可得 g(x)>0 ，即 g(x) 在 x∈(0,π2] 内没有零点， 当 x∈(π2,π) 时， g′(x)=2cosx−xsinx ， 因为 cosx<0,xsinx>0 ，所以 g'(x)<0 ，所以 g(x) 在 (π2,π) 上单调递减， 又 g(2)=(2+tan2)cos2>0 ，且 g(2π3)=−π3+32<0 ， 所以 g(x) 在 (2,2π3) 内有唯一零点 t 证明：由（1）得，当 x∈(0,t) 时， g(x)>0 ，所以 f'(x)>0 ，即 f(x) 单调递增； 当 x∈(t,π) 时， g(x)<0 ，所以 f(x)<0 ，即 f(x) 单调递减， 即 f(x) 的最大值为 f(t)=tsint ， 由 f′(t)=tcost+sint=0 得 t=-tant ，所以 f(t)=−tant·sint ， 因此 f(t)−2=−sin2t−2costcost =cos2t−2cost−1cost =(cost−1)2−2cost ， 因为 t∈(2,2π3) ，所以 cost∈(−12,cos2) 从而 (cos2−1)2−2=(−1.4161)2−(2)2>0 ，即 (cost−1)2−2cost<0 ， 所以 f(t)−2<0 ，故 f(x)<2

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