题目

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是边BC上的动点，连接AD，点C关于直线AD的对称点为点E，射线BE与射线AD交于点F. （1） 在图1中，依题意补全图形； （2） 记 （ ），求 的大小；（用含 的式子表示） （3） 若△ACE是等边三角形，猜想EF和BC的数量关系，并证明. 答案： 解：补全图形如图2： 解：如图3，连接AE、DE， ∵点C关于直线AD的对称点为点E，∴AE=AC，∠EAD= ∠DAC=α ， ∵AB=AC，∠BAC=90°，∴AB=AE， ∠BAE=90°−2α ， ∴ ∠ABF=180°−∠BAE2=180°−(90°−2α)2=45°+α ； BC=2EF. 证明：如图4，设AF、CE交于点G， ∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC=60°，CE=AC， ∵点C关于直线AD的对称点为点E， ∴AF⊥CE，∠FAE= ∠FAC=30° ，∴∠BAF=60°，CE=2EG， 由（2）题知，∠ABF=45°+30°=75°，则在△ABF中，∠AFB=180°－∠ABF－∠BAF=45°， ∴∠GEF=45°，∴ EF=2EG ， 又∵AB=AC，∠BAC=90°，∴ BC=2AC ， ∴ BC=2CE=22EG=2EF .

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