题目

如图1， 已知 是等腰直角三角形， ， ，点 是 的中点．作等腰直角 ，使 ， ，点 、 分别在边 和 上，连接 ， ． （1） 试猜想线段 和 的数量关系是，位置关系是； （2） 将 绕点 逆时针方向旋转 ， ①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论； ②若 ，当 取最大值时，连接 ，直接写出 的值． 答案： 【1】BF=AE【2】BF⊥AE ①（1）中的结论仍然成立．理由如下： 如图2，连接 AD ，延长 EA 交 BF 于 J ，交 DF 于 O ． ∵RtΔBAC 中， D 为斜边 BC 的中点， ∴AD=BD ， AD⊥BC ， ∴∠ADF+∠BDF=90° ， ∵ΔDEF 是等腰直角三角形， ∴DE=DF ，且 ∠FDE=90° ， ∴∠ADF+∠ADE=90° ， ∴∠BDF=∠ADE ． 在 ΔBDF 与 ΔADE 中， {BD=AD∠BDF=∠ADEDF=DE ， ∴ΔBDF≅ΔADE(SAS) ， ∴BF=AE ， ∠BFD=∠DEA ， ∵∠FOJ=∠DOE ， ∴∠FJO=∠ODE=90° ， ∴AE⊥BF ． ②如图3中，连接 AD ． ∵ΔABC 是等腰直角三角形， ∠BAC=90° ，点 D 是 BC 的中点， ∴∠ADB=90° ， BD=AD=12BC=2 ． 当旋转角为 270° 时， AE 取最大值，延长 AC 交 EF 于 H ． ∵∠ACD=∠FCH=45° ， ∠CFH=45° ， ∴∠AHF=90° ， ∵AC=2CD=22 ， CF=DF=DC=2 ， ∴CH=FH=2 ， ∴AH=AC+CH=22+2=32 ， ∴tan∠FAC=FHAH=232=13 ．

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